Может ли работодатель издать работникам трудовые книжки?

Нет, нельзя.

Работодатель может выдать работнику трудовую книжку:

• В случае увольнения (статья 47 Кодекса законов о труде Украины);
• После завершения включения Пенсионным фондом Украины в реестр застрахованных лиц Государственного реестра общеобязательного государственного социального страхования отсутствующих сведений о трудовой деятельности работников (пункт 2 Заключительных и переходных положений Закона Украины «О внесении изменений в некоторые законодательные акты Украины по учету трудовой деятельности работника в электронной форме»);
• Во время действия военного положения (статья 7 Закона Украины «Об организации трудовых отношений в условиях военного положения»).
• Выдача трудовой книжки работнику производится под подпись.

https://zt.dsp.gov.ua